ตรรกศาสตร์ (พื้นฐาน ม.4)

ตรรกศาสตร์ (พื้นฐาน ม.4)

  ชาวกรีซในสมัยโบราณได้สนใจศึกษากฎต่างๆ ในทางคณิตศาสตร์และทางปรัชญากันมาก

อะริสโตเติลเป็นผู้หนึ่งที่ได้เขียนตำราทางตรรกศาสตร์ที่เป็นระบบขึ้นเป็นครั้งแรกซึ่งมีผลต่อความคิดทางปรัชญา ทางวิทยาศาสตร์ และทางศาสนาเป็นอย่างมาก

บทนิยาม	ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
		ตัวอย่างเช่น
		• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้	→ เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ
		• ใครทำจานแตก	→ ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
		• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก	→ เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้ 1. ตัวเชื่อมประพจน์ "และ"      การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) 2. ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ"      การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) 3. ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว"      การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) 4. ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ"      การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน 5. นิเสธของประพจน์      นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม p q p ∧ q p ∨q p → q p ⇔ q ~p ~q T T F F T F T F T F F F T T T F T F T T T F F T F F T T F T F T ประพจน์ที่สมมูลกัน            ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) p → q สมมูลกับ ~p ∨ q p → q สมมูลกับ ~q → ~p p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน            ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p) ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p) พิสูจน์ จะเห็นว่า p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p          ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้ p ∨ ~q [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q ~(p ∧ ~q) [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p (p ∧ q) → p (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) (p ∧ q) → q (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) p → (p ∨ q) (p → q) ⇔ (~p ∨ q) q → (p ∨ q) (p → q) ⇔ (~q → ~p) [ p ∧ ( p → q)] → q (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p) [ ~p ∧ ( p → q)] → ~q ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)] ข้อสังเกต ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์ พิสูจน์ ประโยคเปิด บทนิยาม        ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปรทำให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์           เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P(x,y) หรือ Q(x,y) ตัวอย่างเช่น • เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา” • x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x” ตัวบ่งปริมาณ           ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ 1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว” 2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว” ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง 2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ 3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง 4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)] ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)] ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)] ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)] ตัวอย่างเช่น • ∀x[x < 0] เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ จะทำให้ x < 0 เป็นเท็จ • ∃x[x < 0]เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มลบ จะทำให้ x < 0 เป็นจริง            การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้" การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ 1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้ 2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา            สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล ตัวอย่างเช่น เหตุ 1. p → q 2. p ผล q ที่มา :  http://www.thaigoodview.com